初中数学：用三个简单姿势，轻松搞定二次函数解析式

【来源：易教网 更新时间：2025-10-08】

很多家长和学生一听到“二次函数”就头疼，觉得这东西又抽象又难懂，尤其是求解析式，动不动就要设a、b、c，代入点、列方程、解方程组，一不小心就算错了，越算越乱。其实，只要掌握三种基本形式，再根据题目给的条件“对号入座”，二次函数的解析式根本没那么可怕。

我们先不谈图象、不谈顶点、不谈对称轴，先从最实际的问题说起：题目给你几个点，让你写出函数表达式，你该怎么下手？

第一种情况：给你三个点，随便哪个都行——用一般式

这是最常见的情况。比如题目说：抛物线经过点（0，1）、（1，3）、（-1，1）。三个点，没有特别提示，那就直接设：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

把三个点一个一个代进去：

- 点（0，1）：代入得 \( c = 1 \)

- 点（1，3）：代入得 \( a + b + c = 3 \)，因为c=1，所以 \( a + b = 2 \)

- 点（-1，1）：代入得 \( a - b + c = 1 \)，同样c=1，所以 \( a - b = 0 \)

现在你有两个方程：

\( a + b = 2 \)

\( a - b = 0 \)

加起来，得 \( 2a = 2 \)，所以 \( a = 1 \)，再代回去，\( b = 1 \)

结果就是：

\[ y = x^2 + x + 1 \]

整个过程，就是代入、列式、解方程。没有技巧，只有耐心。很多孩子错，不是不会，是算得太快，跳步了。建议：每代一个点，就把结果写清楚，别心急。

第二种情况：告诉你顶点，再给一个点——用顶点式

顶点式长这样：

\[ y = a(x - h)^2 + k \]

其中（h,k）就是顶点坐标。

比如题目说：顶点是（-1，-8），又经过点（0，-6）。

那就直接设：

\[ y = a(x + 1)^2 - 8 \]

把点（0，-6）代入：

\[ -6 = a(0 + 1)^2 - 8 \]

\[ -6 = a - 8 \]

\[ a = 2 \]

所以解析式是：

\[ y = 2(x + 1)^2 - 8 \]

如果题目要求化成一般式，展开一下就行：

\[ y = 2(x^2 + 2x + 1) - 8 = 2x^2 + 4x - 6 \]

顶点式的好处是，你一眼就能看出最高点或最低点在哪，开口方向由a的正负决定。题目一给顶点，就别再用一般式了，省时省力。

第三种情况：告诉你和x轴的交点——用两根式

两根式长这样：

\[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \]

其中 \( x_1 \)、\( x_2 \) 是抛物线与x轴交点的横坐标。

比如题目说：抛物线过点（3，0）和（2，-3），对称轴是x=1。

对称轴是x=1，说明两个x轴交点关于x=1对称。已知一个交点是（3，0），那另一个交点就是（-1，0），因为3和-1的中点是1。

所以两根是x=3和x=-1，设：

\[ y = a(x - 3)(x + 1) \]

再代入点（2，-3）：

\[ -3 = a(2 - 3)(2 + 1) = a(-1)(3) = -3a \]

所以 \( a = 1 \)

解析式就是：

\[ y = (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3 \]

这里的关键不是代入，而是“对称”。只要知道一个交点和对称轴，就能推出另一个交点。这是很多孩子忽略的“隐藏条件”。

再来一个实际例子：

题目说：抛物线经过一次函数 \( y = -\frac{3}{2}x + 3 \) 与x轴、y轴的交点，还过点（1，1）。求解析式。

第一步：找交点。

x轴交点：令y=0，得 \( 0 = -\frac{3}{2}x + 3 \)，解得 \( x = 2 \)，所以点是（2，0）

y轴交点：令x=0，得 \( y = 3 \)，所以点是（0，3）

现在你知道抛物线过三个点：（2，0）、（0，3）、（1，1）

三个点，用一般式最稳：

设 \( y = ax^2 + bx + c \)

代入（0，3）：c = 3

代入（2，0）：\( 4a + 2b + 3 = 0 \) → \( 4a + 2b = -3 \)

代入（1，1）：\( a + b + 3 = 1 \) → \( a + b = -2 \)

现在解这个方程组：

从第二个式子：\( a = -2 - b \)

代入第一个：

\( 4(-2 - b) + 2b = -3 \)

\( -8 - 4b + 2b = -3 \)

\( -2b = 5 \)

\( b = -\frac{5}{2} \)

\( a = -2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \)

所以：

\[ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 3 \]

如果题目还要求化成顶点式，那就配方：

\[ y = \frac{1}{2}(x^2 - 5x) + 3 \]

\[ = \frac{1}{2}\left(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\right) + 3 \]

\[ = \frac{1}{2}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{8} + 3 \]

\[ = \frac{1}{2}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{8} \]

整个过程，没有超纲知识，没有复杂公式，只有代入、解方程、配方。这些，都是初中生已经学过的技能。

练习题：

已知二次函数过点A（1，0）、B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。

（1）若m是定值，怎么求解析式？

设一般式：\( y = ax^2 + bx + c \)，c = m

代入A：\( a + b + m = 0 \)

代入B：\( 4a + 2b + m = 1 \)

两个方程，两个未知数，解出a、b，用m表示就行。

（2）若函数和x轴还有另一个交点，m的范围是什么？

说明有两个不同实根，判别式大于0。

由上面，a、b都用m表示了，写出判别式：

\( \Delta = b^2 - 4ac > 0 \)

代入后化简，就能得到m的范围。

不要怕“字母多”，这是训练你把“条件”变成“方程”的能力。中考题里，这种题型年年都有，分值不低。

提醒：

别一上来就盯着“难不难”，先看“给了什么”。

三点 → 一般式

顶点+一点 → 顶点式

x轴交点 → 两根式

记住这三条，解题速度能快一半。

别迷信“技巧”，真正的技巧，是选对方法，然后一步一步算对。

孩子做题卡壳，往往不是不会，是没分清该用哪个“工具”。

家长辅导时，别急着讲答案，问一句：“题目给了几个点？有没有顶点？有没有交点？”

孩子自己答出来，题就解决了一半。

数学不是玄学，是工具的使用。

二次函数，不过是三个公式，加一点耐心。