高中数学原始图像有哪些，高中数学中，原始图像具体包含哪些内容？

【来源：易教网 更新时间：2026-09-12】

很多同学学高中数学函数模块的时候，总喜欢把定义、性质、图像割裂开背，平时刷题遇到图像题就慌，一看到函数表达式脑子一片空白，只能靠硬算碰运气。

其实函数题的核心从来不是复杂计算，而是对原始图像的熟练程度——你把课本里要求的6类函数原始图像吃透了，看到表达式能在1秒内反应过来图像长什么样、有什么核心性质，很多选择填空不用算就能出答案，大题也能快速找到解题方向。

今天就把高中数学必考的6类函数原始图像逐一拆解，把每个图像的定义、性质、图像特征、常考用法都讲透，帮你把函数模块的基础打牢。

一、一次函数原始图像

一次函数是高中函数学习的入门基础，表达式为\( y = ax + b \)，其中\( a \)和\( b \)都是常数。

从图像特征来看，一次函数的图像是一条不垂直于x轴的直线，斜率对应表达式里的\( a \)值，y轴截距对应\( b \)的值。平时做题的时候看到一次函数，第一步先判断\( a \)的正负：如果\( a>0 \)，直线从左下往右上走，函数在整个定义域上单调递增，x取值越大对应的y值也越大；

如果\( a<0 \)，直线从左上往右下走，函数在整个定义域上单调递减，x取值越大对应的y值越小。

除了基础性质，一次函数图像在考试里最常考的是和不等式、线性规划的结合。比如看到一次函数\( y=ax+b>0 \)，直接看图像在x轴上方的部分对应的x范围就行，不用单独解不等式；如果是线性规划题，目标函数是一次函数的话，直接看直线平移的时候和可行域的交点位置，就能快速找到最优解。

还有同学容易把斜率\( a \)和倾斜角搞混，记住倾斜角是直线和x轴正方向的夹角，范围是\( [0, \pi) \)，当倾斜角是锐角的时候\( a>0 \)，钝角的时候\( a<0 \)，直角的时候直线垂直x轴，不是一次函数，这个点平时做题经常作为陷阱出现。

二、二次函数原始图像

二次函数是高中函数的重点也是难点，表达式为\( y = ax^2 + bx + c \)，其中\( a、b、c \)是常数，且\( a\neq0 \)。

二次函数的图像是抛物线，\( a \)的符号直接决定开口方向：\( a>0 \)的时候开口向上，函数有最小值，顶点是最低点；\( a<0 \)的时候开口向下，函数有最大值，顶点是最高点。

抛物线的对称轴公式是\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点坐标可以代入对称轴的x值到表达式里算出对应的y值，也就是\( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \)。

很多同学以前背对称轴公式背了好几次都忘，其实用“左同右异”的口诀，看a和b的符号同号在左异号在右，一秒就能判断对称轴位置，比死记公式快多了。

考试里二次函数图像常考的点非常多，比如判别式\( \Delta=b^2-4ac \)和抛物线和x轴交点的关系：\( \Delta>0 \)的时候抛物线和x轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不同实根；\( \Delta=0 \)的时候只有一个交点，对应方程有两个相等实根；

\( \Delta<0 \)的时候没有交点，对应方程无实根。还有二次函数的单调性，开口向上的时候，对称轴左边单调递减，右边单调递增；开口向下的时候反过来，对称轴左边单调递增，右边单调递减，这个性质在求二次函数的最值、解二次不等式的时候用得非常频繁。

三、指数函数原始图像

指数函数的表达式为\( y = a^x \)，其中底数\( a>0 \)且\( a\neq1 \)，这是高中阶段第一个接触到的“非多项式”型函数。

指数函数的图像是随底数\( a \)变化的曲线，所有指数函数的图像都会经过定点\( (0,1) \)，因为无论\( a \)取什么符合要求的值，\( a^0 \)都等于1。当\( 01 \)的时候，指数函数在定义域上单调递增，x趋近于负无穷的时候y趋近于0，x趋近于正无穷的时候y会快速上升。

指数函数在考试里常考的是和指数方程、指数不等式的结合，比如解\( a^x>1 \)的不等式，如果\( a>1 \)的话解集是\( x>0 \)，如果\( 0

还有指数函数的图像比较，第一象限里，x值相同的时候，底数越大的指数函数图像越高，这个规律可以快速解决多个指数函数图像大小比较的题。另外指数函数的实际应用也越来越多，比如人口增长、放射性元素衰变、存款复利这些问题，本质都是指数函数模型，看到这类题先找原始指数函数图像，再结合条件调整参数就行。

四、对数函数原始图像

对数函数是指数函数的逆函数，表达式为\( y = \log_a x \)，底数同样要求\( a>0 \)且\( a\neq1 \)。

对数函数的图像和指数函数的图像关于直线\( y=x \)对称，这个性质可以帮助我们快速画出不熟悉底数的对数函数图像，只要把对应的指数函数图像关于y=x翻折就行。所有对数函数的图像都会经过定点\( (1,0) \)，因为无论\( a \)取符合要求的什么值，\( \log_a 1 \)都等于0。当\( 01 \)的时候，对数函数在定义域上单调递增，x趋近于0正方向的时候y趋近于负无穷，x趋近于正无穷的时候y会缓慢上升。 对数函数的常考点首先是对数方程、对数不等式的解法，比如解\( \log_a x>1 \)，如果\( a>1 \)的话解集是\( x>a \)，如果\( 0\frac{1}{2} \)，这个点每次考复合函数的单调性、值域的时候都会作为踩分点。另外对数函数的图像变换也是高频考点，比如把\( y=\log_2 x \)的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的表达式是\( y=\log_2 (x+1)+2 \)，只要记住“左加右减，上加下减”的平移规律，结合原始图像就能快速得到变换后的图像，不用一步步算。

五、幂函数原始图像

幂函数的表达式为\( y = x^n \)，其中指数\( n \)是实数，这是形式最简单的一类函数，但考试里经常因为它形式简单设陷阱。

幂函数的图像变化规律和指数\( n \)的取值直接相关，所有幂函数在\( x>0 \)的时候都有定义，当\( n>0 \)的时候，幂函数在\( (0,+\infty) \)上单调递增；当\( n<0 \)的时候，幂函数在\( (0,+\infty) \)上单调递减。

从奇偶性来看，当\( n \)是奇数的时候，幂函数的图像关于原点对称，是奇函数；当\( n \)是偶数的时候，图像关于y轴对称，是偶函数。

平时做题的时候，我们最常接触的是5个基础幂函数：\( y=x \)、\( y=x^2 \)、\( y=x^3 \)、\( y=x^{-1} \)、\( y=x^{\frac{1}{2}} \)，把这五个图像记熟，遇到其他幂函数的问题都可以通过对比推导。

之前有同学问我幂函数的图像怎么记，其实不用把每个n对应的图像都硬背，把五个基础的记熟，其他的都和这五个对比就行，比如n是分数的时候，先看分子分母的奇偶性判断奇偶性，再看n的正负判断单调性，就能快速画出大概的图像。

幂函数常考的是第一象限的图像大小比较：当\( x>1 \)的时候，指数\( n \)越大的幂函数图像越高；当\( 0

还有幂函数的实际应用，比如正方形面积\( y=x^2 \)、立方体体积\( y=x^3 \)、圆的面积\( y=\pi x^2 \)这些问题，本质都是幂函数模型，看到实际问题先对应到对应的幂函数图像，就能快速找到变量之间的关系。

六、三角函数原始图像

高中阶段主要接触正弦函数\( y=\sin x \)、余弦函数\( y=\cos x \)、正切函数\( y=\tan x \)三类三角函数，它们的原始图像是解决所有三角函数问题的基础。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的波浪曲线，周期都是\( 2\pi \)，值域都是\( [-1,1] \)。

正弦函数的图像从原点开始，先上升到波峰\( ( \frac{\pi}{2}, 1 ) \)，再下降到波谷\( ( \frac{3\pi}{2}, -1 ) \)，再回到x轴上的\( (2\pi, 0) \)完成一个周期；

余弦函数的图像从y轴上的\( (0,1) \)开始，先下降到波谷\( ( \pi, -1 ) \)，再上升到波峰\( ( 2\pi, 1 ) \)，完成一个周期，两者的图像本质是左右平移了\( \frac{\pi}{2} \)个单位的关系。

正切函数的图像是一系列不连续的线段，周期是\( \pi \)，每个周期内都有一条垂直渐近线，比如\( y=\tan x \)的渐近线是\( x=\frac{\pi}{2}+k\pi \)（k是整数），图像在两个渐近线之间从负无穷上升到正无穷。

三角函数是高考必考的内容，图像相关的考点非常多，比如给出\( y=A\sin(\omega x+\varphi) \)的部分图像，求表达式里的参数\( A、\omega、\varphi \)，这种题只要记住振幅\( A \)是波峰到x轴的距离，周期\( T=\frac{2\pi}{\omega} \)（正切函数是\( T=\frac{\pi}{\omega} \)），然后找特殊点代入就能算出参数，比纯代数推导快很多。

还有三角函数的单调性、最值、对称轴、对称中心，都可以直接从原始图像上读出来，不用死记公式。另外三角函数的图像变换也是高频考点，比如把正弦函数图像伸缩、平移得到新的三角函数表达式，记住“先平移后伸缩”或者“先伸缩后平移”的区别，结合原始图像一步步推导，就不会搞错顺序。

很多同学觉得函数难，本质是把定义、性质、图像割裂开了记，死记硬背性质遇到灵活的题就不会用。其实这6类原始图像就是函数题的核心“工具”，平时刷题的时候多练“看到表达式想图像，看到图像想性质”，练到滚瓜烂熟之后，做函数题的速度和准确率都会提升一大截。

尤其是高三的同学，现在复盘基础的时候把这6张图的每个细节都抠透，后面做函数综合题、导数题的时候，都会轻松很多。